1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis: Tentukan titik kritis fungsi [tex]\rm f(x)=\left|\frac{\ln(x)}{x}\right|[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis:
Tentukan titik kritis fungsi
\rm f(x)=\left|\frac{\ln(x)}{x}\right|

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Titik kritis: (1, 0), (e, 1/e).
 

Pembahasan

Diberikan fungsi:
\begin{aligned}y=\left|\frac{\ln x}{x}\right|\end{aligned}

Kita akan menentukan titik kritisnya.

Titik kritis dari sebuah fungsi kontinu y=f(x)adalah titik di manaf'(x) = 0atauf'(x) tak terdefinisi, dengan xberada pada domainf(x).

Domain dari fungsi di atas adalah \{x\mid x > 0\,,\ x\in\mathbb{R}\}.

Turunan pertamanya adalah:

\begin{aligned}y'&=\frac{d}{dx}\left[\left|\frac{\ln x}{x}\right|\right]\\&=\frac{d}{dx}\left[\frac{\left|\ln x\right|}{|x|}\right]\\&=\frac{\frac{d}{dx}\big[\left|\ln x\right|\big]\cdot|x|-\left|\ln x\right|\cdot\frac{d}{dx}\big[|x|\big]}{x^2}\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Turunan fungsi nilai mutlak,}\\&\textsf{kita perhatikan tandanya.}\\&\textsf{Gunakan }\frac{u}{|u|}.\\\end{aligned}\right.\end{aligned}

\begin{aligned}y'&=\frac{\dfrac{\ln x}{\left|\ln x\right|}\cdot\frac{d}{dx}\big[\ln x\big]\cdot|x|-\left|\ln x\right|\cdot\frac{d}{dx}\big[x\big]\cdot\dfrac{x}{|x|}}{x^2}\\&=\frac{\dfrac{\ln x}{\left|\ln x\right|}\cdot\dfrac{1}{x}\cdot|x|-\left|\ln x\right|\cdot\dfrac{x}{|x|}}{x^2}\\&=\frac{|x|\ln x}{x^3\left|\ln x\right|}-\frac{x\left|\ln x\right|}{x^2|x|}\\&=\frac{x^2\ln x}{|x|\,x^3\left|\ln x\right|}-\frac{\left|\ln x\right|}{x\,|x|}\end{aligned}
\begin{aligned}y'&=\frac{\ln x}{x|x|\left|\ln x\right|}-\frac{\left|\ln x\right|}{x\,|x|}\\&=\frac{\ln x-\ln^2 x}{x\,|x|\left|\ln x\right|}\\\end{aligned}

\begin{aligned}\therefore\ y'&=-\frac{\ln x(\ln x-1)}{x\,|x|\left|\ln x\right|}\end{aligned}

Menentukan titik kritis

\begin{aligned}\bullet\ &y'=0\\&\Rightarrow -\frac{\ln x(\ln x-1)}{x\,|x|\left|\ln x\right|}=0\\&\Rightarrow \ln x(\ln x-1)=0\\&\Rightarrow \ln x=0\ \lor\ \ln x-1=0\\&\Rightarrow x=1\ \lor\ x=e\quad...(i)\end{aligned}
\begin{aligned}\bullet\ &y'=\textsf{tak terd{ef}inisi}\\&\Rightarrow -\frac{\ln x(\ln x-1)}{x\,|x|\left|\ln x\right|}=\textsf{tak terd{ef}inisi}\\&\Rightarrow x\,|x|\left|\ln x\right|=0\\&\qquad \left(x=0\textsf{ tak terd{ef}inisi untuk }\ln x.\right)\\&\Rightarrow x=1\quad...(ii)\end{aligned}

\begin{aligned}&(i)\ \lor\ (ii)\\\Rightarrow\ &(x=1\ \lor\ x=e)\ \lor\ (x=1)\\\Rightarrow\ &x=1\ \lor\ x=e\end{aligned}

Titik kritis:

\begin{aligned}&\left(1,\:\left|\frac{\ln 1}{1}\right|\right),\ \left(e,\:\left|\frac{\ln e}{e}\right|\right)\\\Rightarrow\ &\left(1,\:0\right),\ \left(e,\:\frac{1}{e}\right)\\\end{aligned}
 

KESIMPULAN

∴  Titik kritis dari y=\left|\dfrac{\ln x}{x}\right| adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\left(1,\:0\right),\ \left(e,\:\frac{1}{e}\right)\:}\end{aligned}$}
 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke www.yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 20 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>