2. jika f (x) nilai dari lim f (x) adalah

Berikut ini adalah pertanyaan dari falentino994 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}&{\sf Jika\ }f(x)=\begin{cases}x+2,&x < 1\\3x,&x \ge 1\end{cases}\\&\textsf{nilai dari }\lim_{x\to1}f(x)\ {\sf adalah}\ \boxed{\,\bf3\,}\end{aligned}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nilai Limit Fungsi

Diberikan fungsi:

$\begin{aligned}f(x)&=\begin{cases}x+2,&x < 1\\3x,&x \ge 1\end{cases}\end{aligned}$

Kita akan menentukan nilai dari:

$\begin{aligned}\lim_{x\to1}f(x)\end{aligned}$

CARA PERTAMA

Kita perhatikan bahwa f(x) kontinu untuk semua nilai x, karena dari intervalnya:
(–∞, 1) ∪ [1, +∞) = (–∞, +∞)

Oleh karena itu, nilai limit f(x) pada saat x mendekati 1 dari kedua arah (dari kiri maupun dari kanan) sama dengan nilai f(1), yaitu 3.

Jika kita jabarkan dengan konsep limit:

$\begin{aligned}\lim_{x\to1^{-}}f(x)&=\lim_{x\to1^{-}}(x+2)\\&=2+\lim_{x\to1^{-}}x\\&=2+1\\\lim_{x\to1^{-}}f(x)&=\bf3\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim_{x\to1^{+}}f(x)&=\lim_{x\to1^{+}}(3x)\\&=3\cdot\lim_{x\to1^{+}}x\\&=3\cdot1\\\lim_{x\to1^{+}}f(x)&=\bf3\end{aligned}$

Kita peroleh:

$\begin{aligned}&\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}f(x)=3\\&\Rightarrow \lim_{x\to1}f(x)=\boxed{\,\bf3\,}\end{aligned}$
$\blacksquare$

CARA KEDUA

Karena grafik f(x) berbelok ketika x = 1 (perhatikan bahwa gradien dari kedua garis lurus yang mendefinisikan f(x) tidak sama nilainya), maka kita lakukan 2 pendekatan, yaitu dari nilai limit dari f(x) ketika x mendekati 1 dari kiri garis bilangan, dan dari nilai limit dari f(x) ketika x mendekati 1 dari kanan garis bilangan.

Jika nilai f(x) mengarah/menuju ke suatu nilai yang sama (konvergen) pada saat x mendekati 1, maka nilai limitnya ada dan bernilai sama dengan nilai f(x) yang dituju.

Kita dapat membuat tabel nilai limit.

$\begin{array}{c|cccccccccc}x&0{,}9&0{,}99&0{,}999&{\dots}\ 1\ {\dots}&1{,}001&1{,}01&1{,}1\\f(x)&2{,}9&2{,}99&2{,}999&{\dots}\ \bf3\ {\dots}&3{,}003&3{,}03&3{,}3\end{array}$