Jawaban:

Matriks $I-(1/n)J, H_{c} = X_{c}(X’_{c} X_{c})^{-1} X’_{c}, $ dan $ I-(1/n)J- H_{c}$ memiliki sifat sebagai berikut:

(i) $H_{c}[I-(1/n)J] = H_{c}$.

(ii) $H_{c}$ adalah idempoten rank $k$.

(iii) $I-(1/n)J- H_{c}$ adalah idempoten rank $n-k-1$.

(iv) $H_{c}[I-(1/n)J – H_{c}]=O$.

Bukti :

(i) Pada $H_{C}\left[I-(\frac{1}{n})J\right]=H_{C}$ diketahui $\left[I-(\frac{1}{n})J\right]$ adalah centering matrix, maka

\begin{align*}

(j,X_{C})'(j,X_{C})\left(\begin{array}{r} \hat{\alpha} &\hat{\beta_{1}} \end{array}\right )&=(j,X_{C})’y \\

\left(\begin{array}{r} j’ &X_{C}’ \end{array}\right) (j,X_{C}) \left(\begin{array}{r} \bar{y} &(X_{C}’)^{-1}X_{C}’y\end{array}\right )&=\left(\begin{array}{r} j’ &X_{C}’ \end{array}\right )\\

\left(\begin{array}{rr} n & 0’& 0& X’_{C}X_{C}\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} \bar{y} &(X_{C}’)^{-1}X_{C}’y\end{array}\right ) &= \left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) \\

\left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) &= \left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) \\

\end{align*} terbukti bahwa ruas kanan dan ruas kiri memiliki nilai yang sama.

(ii) \begin{align*} H_{C}&=X_{C}(X’_{C}X_{C})^{-1}X’_{C}\\

&=X_{C}(X_{C})^{-1}(X_{C})^{-1}X_{C}\\

&=I.I\\

&=1 \end{align*}

Sehingga, terbukti $H_{C}$ idempoten dari rank $K$

(iii) Karena $H_{C}$ idempoten dari rank $K$ maka $[I-(\frac{1}{n}J-H_{C}]$ juga idempoten terhadap rank $(n-k-1)$

(iv) \begin{align*}H_{C}[I-(\frac{1}{n}J-H_{C}]&=H_{C}[I-(\frac{1}{n}J]-H_{C}H_{C}\\

&=H_{C}-H_{C}H_{C}\\

&=H_{C}[I-H_{C}]\\

&=H_{C}[I-X_{C}(X’_{C}X_{C})^{-1}X’_{C}]\\

&=H_{C}[I-X_{C}(X_{C})^{-1}(X_{C})^{-1}X’_{C}]\\

&=H_{C}[I.I]\\

&=0\end{align*}.$\box$

Distribusi SSR/$\sigma^{2}$ dan SSE/$\sigma^{2}$ didapat dari teorema berikut.